Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
Bilangan Berpangkat Positif, Negatif, dan Nol
Pengertian Perpangkatan
Perpangkatan merupakan perkalian berulang sebuah bilangan dengan bilangan itu
sendiri.
Contoh:
22 (dibaca: dua pangkat dua) yang sama artinya dengan 2 x 2
43 (dibaca: empat pangkat tiga) yang sama artinya dengan 4 x 4 x 4
75 (dibaca: tujuh pangkat lima) yang sama artinya dengan 7 x 7 x 7 x 7 x 7
Bilangan Berpangkat Positif
Bilangan berpangkat positif merupakan bilangan yang mempunyai pangkat/ eksponen
positif.
Contoh:
32 = 3 x 3 = 9
43 = 4 x 4 x 4 = 64
(-2)2 = (-2) x (-2) = 4
(-5)3 = (-5) x (-5) x (-5) = -125
Bilangan kuadrat sempurna seperti 1, 4, 9, dan 16 dapat
dinyatakan dalam bentuk geometri seperti di bawah ini:
Bilangan kuadrat sempurna adalah bilangan yang merupakan hasil
kali dari suatu bilangan dengan dirinya sendiri.
Sebagai contoh di atas 16 adalah bilangan kuadrat sempurna karena 16 = 4 x 4.
Notasi 4 x 4 dapat dituliskan dalam bentuk pangkat. Bentuk pangkat ini
menjelaskan pada kita berapa suatu bilangan yang kita sebut sebagai basis atau
bilangan pokok digunakan sebagai faktor.
Bilangan yang digunakan sebagai pangkat disebut eksponen atau pangkat.
Pernyataan 4 x 4 dituliskan sebagai 42. Pada notasi, 4 menyatakan bilangan
pokok atau basis, dan 2 menyatakan pangkat atau eksponen.
Contoh:
Tuliskan pernyataan berikut dalam bentuk eksponen
a. 2 x 2 x 2 x 2 x 2
Bilangan pokoknya adalah 2 dan faktornya adalah 5.
2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25.
b. m x m x m x m
Bilangan pokoknya adalah m dan
faktornya adalah 4.
m x m x m x m = m4.
c. 7
Bilangan pokoknya adalah 7 dan
faktornya adalah 1
7 = 71.
d. Tuliskan (2)(2)(2)( – 5)( – 5) dalam bentuk eksponen.
Dengan menggunakan sifat asosiatif kita kelompokkan faktor dengan bilangan
pokok yang sama sebagai berikut:
(2)(2)(2)(-5)(-5) = [(2)(2)(2)][(-5)(-5)] = 23(-5)2
Jarak antara bumi dan matahari adalah sekitar108 kilometer.
Tuliskan bilangan ini sebagai pernyataan perkalian dan hitunglah hasilnya.
108 = 10.10.10.10.10.10.10.10 = 100.000.000
Jarak antara bumi dan matahari adalah sekitar 100 juta kilometer.
Bilangan Berpangkat Negatif dan Nol
Bilangan bulat berpangkat negative
Tidak semua pangkat bernilai positif. Beberapa pangkat adalah bulat negatif.
Perhatikan pola bilangan berikut untuk menemukan nilai 10-1 dan 10-2. Dengan
memperluas pola yang ada, maka hasil yang dapat diperoleh adalah 10-1 = 1/10
dan 10-2 = 1/〖10〗^2 1/100
Pada pola tersebut, apabila kamu kalikan bilangan pokok,
pangkatnya naik satu. Sebagai contoh 103 x 10 = 104. Sedangkan apabila kamu
bagi dengan bilangan pokok, pangkatnya turun satu. Sebagai contoh, 10-2 : 10 =
10-3
Untuk setiap a є R dan a ≠ 0 berlaku
Bilangan a^(-n) disebut bilangan berpangkat tak sebenarnya.
Contoh:
(-6)-3 = (-1/6)^3 = (-1/6) x (-1/6) x (-1/6) = -1/216
Tuliskan 10-3 menggunakan pangkat positif. Kemudian tentukan nilainya.
10-3 = 1/〖10〗^3 = 1/1000 = 0,001
Sederhanakan pernyataan
xy-2 = x . y-2 = x. 1/( y^2 ) = x/y^2
Bakteri E.coli memiliki lebar 10-3 milimeter. Jarum pentul memiliki diameter 1
milimeter. Berapa banyak bakteri E.coli yang dapat mengisi diameter jarum
tersebut.
Untuk menentukan banyak bakteri, bagilah 1 dengan 10-3 = 1/〖10〗^(-3) = 103 = 1000
Jadi banyak bakteri yang dapat mengisi diameter jarum pentul adalah 1000
bakteri.
Bilangan bulat berpangkat nol
Untuk setiap a є R dan a ≠ 0, maka
Bilangan a0 = disebut bilangan berpangkat tak sebenarnya.
Contoh:
30 = 1
(-10)0 = 1
(-21)-3+3 = (-21)0 = 1
(-6)4-3-1 = (-6)0 = 1
Bilangan Pecahan Berpangkat
Bentuk pangkat dapat ditulis sabagai berikut:
(a/b)^n= a/b x a/b x…x a/b= a^n/b^n
Sebanyak n buah, dengan a ≠ 0, b ≠ 0, dan n > 0
(a/b)^(-n)= b/a x b/a x…x b/a= b^n/a^n
Sebanyak n buah, dengan a ≠ 0, b ≠ 0, dan n n, a ≠ 0
a^m/a^n = 1/a^(n-m) , , dengan m < 0, a ≠ 0
(a x b)m = am x bm
(a/b)^m = a^m/b^m , dengan b ≠ 0
Contoh:
p 2 . p -6 = p 2-6 = p -4 = 1/p^4
(p -3 . q 5)4 = (p -3)4 . (q 5)4 = p -12 . q 20 = q^20/p^12
p^10/p^6 = p10-6 = p4
(p^(-1)/q^3 )^(-5) = (p^(-1) )^(-5)/(q^3 )^(-5) = p^5/q^(-15) = p5q15
(-6p)0 = 1
Bentuk Akar
Rindy mempunyai sehelai saputangan yang berbentuk persegi dengan luas 900 cm
persegi. Supaya indah, Rindy akan menambahkan renda di tepi saputangan. Berapa
panjang renda yang diperlukan Rindy?
Untuk membantu Rindy, kita harus tahu panjang sisi persegi agar kita dapat
menghitung keliling saputangan tersebut.
Misal panjang sisi saputangan adalah n cm maka Rindy harus menentukan n × n =
900. Dalam hal ini n = 30 karena 30 × 30 = 900 atau 302 = 900.
Menentukan n = 30 berarti melakukan penarikan akar dari 900 dan ditulis sebagai
√900 = 30.
Dengan demikian Rindy harus menyediakan renda dengan panjang 4 x 30 cm = 120
cm.
Bentuk √900 dibaca “ akar kuadrat dari 900 “.
Simbol √ disebut tanda akar, digunakan untuk menyimbolkan akar
pangkat dua.
Contoh:
√(36 ) = 6
– √36 = -6
Bilangan di dalam tanda akar tidak boleh negatif.
Pada persoalan mencari rusuk suatu kubus bila volume diketahui,
maka kita akan berhadapan dengan bentuk akar yang lain, yaitu akar pangkat
tiga. Misalkan diketahui volume suatu kubus adalah 64 cm3, berapakah panjang rusuk
kubus tersebut?
Misal panjang rusuk tersebut adalah p, maka volume kubus adalah
V = p x p x p
= p3
Dengan demikian diperoleh p3 = 64. Bagaimanakah kita memperoleh p? Ingat bahwa
43 = 64 dengan demikian p = 4.
Secara umum dapat kita tuliskan:
Contoh:
Sederhanakanlah bentuk berikut
√49
Karena 72 = 49, maka √49 = 7
-√64
Karena 82 = 64, maka -√64 = -8
Masih ingat bentuk berikut :
32 =
3 x 3
23 =
2 x 2 x 2
56 =
5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
Demikian
seterusnya sehingga diperoleh bentuk umum sebagai berikut.
Dengan
a bilangan bulat dan n bilangan bulat positif Dari pengertian di atas akan
diperoleh sifat-sifat berikut.
Sifat 1
an x an = am
+ n
24 x
23 = (2 x 2 x 2 x 2 )x(2 x 2 x 2 )
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
= 27
= 24+3
Sifat 2
am : an = am
- n, m > n
55 :
53 = (5 x 5 x 5 x 5 x 5) : (5 x 5 x 5)
= 5 x 5
= 52
= 55 - 3
Sifat 3
(am)n = am x
n
(34)2 =
34 x 34
= (3 x 3 x 3 x 3) x (3 x 3 x 3 x 3)
= (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3)
= 38
= 34 x 2
Sifat 4
(a x b)m = am x
bm
(4
x 2)3 = (4 x 2) x (4 x 2) x (4 x 2)
= (4 x 4 x 4) x (2 x 2 x 2)
= 43 x 23
Sifat 5
(a : b)m = am :
bm
(6 :
3) 4 = (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3) x
(6 : 3)
= (6 x 6 x 6 x 6) : (3 x 3 x 3 x 3)
= 64 : 34
Bilangan
Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Negatif
Dari
pola bilangan itu dapat disimpulkan bahwa 20 = 1 dan 2-n = 1/2n ,
secara umum dapat ditulis :
Pecahan
Berpangkat Bilangan Bulat
Kita
telah mengetahui bahwa pecahan adalah bilangan dalam bentuk dengun a dan b
bilangan bulat (b ≠ 0). Bagaimanakah jika pecahan dipangkatkan dengan bilangan
bulat? Untuk menentukan hasil pecahan yang dipangkatkan dengan bilangan bulat,
caranya sama dengan menentukan hasil bilangan bulat yang dipangkatkan dengan
bilangan bulat.
Contoh:
Tentukan
hasil berikut ini!
(1/2)5
Jawab :
Bentuk Akar
dan Bilangan Berpangkat Pecahan
Bilangan Rasional dan Irasional
Bilangan rasional adalah
bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan
a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan rasional merupakan gabungan dari
bilangan bulat, nol, dan pecahan. Contoh bilangan rasional adalah -5, -1/2,
0, 3, 3/4, dan 5/9.
Sebaliknya, bilangan irasional adalah
bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuka/b dengan
a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.
Contoh
bilangan irasional adalah . Bilangan-bilangan tersebut, jika dihitung dengan
kalkulator merupakan desimal yang tak berhenti atau bukan desimal yang
berulang. Misalnya
√2 = 1,414213562 .... Selanjutnya, gabungan
anrara bilangan rasional dan irasional disebut bilangan real.
Bentuk Akar
Berdasarkan pembahasan sebelumnya, contoh
bilangan irasional adalah √2 dan √5 . Bentuk seperti itu disebut
bentuk akar. Dapatkah kalian menyebutkan contoh yang lain?
Bentuk
akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan
Rasional.
Bentuk
akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan
dengan salah satu akar memenuhi definisi
√a2 =
a jika a ≥ 0, dan –a jika a < 0
Contoh :
Sederhanakan
bentuk akar berikut √75
Jawab :
√75
= √25x3 = √25 x √3 = 5√3
Mengubah Bentuk Akar Menjadi Bilangan
Berpangkat Pecahan dan Sebaliknya
Bentuk √a dengan a bilangan bulat tidak
negatif disebut bentuk akar kuadrat dengan syarat tidak ada bilangan yang hasil
kuadratnya sama dengan a. oleh karena itu √2,√3, √5, √10, √15 dan √19 merupakan
bentuk akar kuadrat. Untuk selanjutnya, bentuk akar n√amdapat
ditulis am/n (dibaca: a pangkat m per n). Bentuk am/n disebut
bentuk pangkat pecahan.
contoh :
jawab :
Operasi
Aljabar pada Bentuk Akar
Penjumlahan dan Pengurangan
Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar
dapat dilakukan jika memiliki suku-suku yang sejenis.
kesimpulan :
jika
a, c = Rasional dan b ≥ 0, maka berlaku
a√b + c√b = (a + c)√b
a√b - c√b = (a - c)√b
Perkalian dan Pembagian
Contoh :
Tentukan
hasil operasi berikut :
jawab :
Perpangkatan
Kalian tentu masih ingat bahwa (a^)" =
a^'. Rumus tersebut juga berlaku pada operasi perpangkatan dari akar suatu bilangan.
Contoh:
Operasi Campuran
Dengan memanfaatkan sifat-sifat pada bilangan
berpangkat, kalian akan lebih mudah menyelesaikan soal-soal operasi campuran
pada bentuk akarnya. Sebelum melakukan operasi campuran, pahami urutan operasi
hitung berikut.
·
Prioritas yang didahulukan pada operasi bilangan adalah
bilangan-bilangan yang ada dalam tanda kurung.
·
Jika tidak ada tanda kurungnya maka
- pangkat dan akar sama kuat;
- kali dan bagi sama kuat;
- tambah dan kurang sama kuat,
artinya mana yang lebih awal dikerjakan terlebih dahulu;
- kali dan bagi lebih kuat
daripada tambah dan kurang, artinya kali dan bagi dikerjakan terlebih
dahulu.
Contoh :
Merasionalkan
Penyebut
Dalam perhitungan matematika, sering kita
temukan pecahan dengan penyebut bentuk akar, misalnya 
Agar
nilai pecahan tersebut lebih sederhana maka penyebutnya harus dirasionalkan
terlebih dahulu. Artinya tidak ada bentuk akar pada penyebut suatu pecahan.
Penyebut dari pecahan-pecahan yang akan dirasionalkan berturut-turut
adalah 
Merasionalkan
penyebut adalah mengubah pecahan dengan penyebut bilangan irasional menjadi
pecahan dengan penyebut bilangan rasional.
Penyebut Berbentuk √b
Jika a dan b adalah bilangan rasional, serta
√b adalah bentuk akar maka pecahan a/√bdapat
dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan √b/√b .
Contoh :
Sederhanakan
pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya!
jawab :
Penyebut Berbentuk (a+√b) atau (a+√b)
Jika pecahan-pecahan mempunyai penyebut
berbentuk (a+√b) atau (a+√b) maka pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan
cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan sekawannya. Sekawan dari
(a+√b) adalah (a+√b) adalah dan sebaliknya.
Bukti
Contoh :
Rasionalkan
penyebut pecahan berikut.
jawab :
Penyebut Berbentuk (√b+√d) atau (√b+√d)
Pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan
mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk akar sekawannya, yaitu
sebagai berikut.
Contoh:
Selesaikan
soal berikut!
Jawab :
